Nghiệm của phương trình Phương_trình

Nghiệm của phương trình là bộ x 1 , x 2 , . . . {\displaystyle x_{1},x_{2},...} tương ứng sao khi ta thay vào phương trình thì ta có đó là một mệnh đề đúng hoặc đơn giản là làm cho chúng bằng nhau, chẳng hạn ta có phương trình 5 x = 6 {\displaystyle 5x=6} , vậy nghiệm của phương trình là 6 5 {\displaystyle {\frac {6}{5}}} vì nó làm cho 2 vế của phương trình bằng nhau. hoặc hiểu theo công thức tổng quát, phương trình f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} có a {\displaystyle a} được gọi là nghiệm của phương trình khi và chỉ khi x = a {\displaystyle x=a} và f ( a ) = 0 {\displaystyle f(a)=0} , điều này định nghĩa tương tự với các phương trình nhiều ẩn khác như f ( x , y , z , . . . ) = 0 , a ∈ S ⇔ x = a , y = b , z = c , . . . ; f ( a , b , c , . . . ) = 0 {\displaystyle f(x,y,z,...)=0,a\in S\Leftrightarrow x=a,y=b,z=c,...;f(a,b,c,...)=0} .

Giải phương trình là tìm tập nghiệm của phương trình đó. Với tập nghiệm của phương trình là tất cả các nghiệm của phương trình. Kí hiệu: S = { x , y , z , . . . } {\displaystyle S=\{x,y,z,...\}} . Xuất phát từ chữ cái tiếng Anh là Set có nghĩa là tập, nhóm.

Ví dụ về biểu diễn hình học của phương trình hai ẩn, các phương trình một ẩn có nghiệm luôn nằm tại một điểm trên trục số.

Người ta cũng chứng minh được một phương trình có thể có một nghiệm, như x + 3 = 4 {\displaystyle x+3=4} thì có một nghiệm duy nhất là 1, hoặc cũng có thể có 2 nghiệm, như x 2 + x − 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0} thì có 2 nghiệm đối nhau là − 1 ± 5 2 {\displaystyle {\frac {-1\pm {\sqrt {5}}}{2}}} , hoặc vô nghiệm như x 2 = − 1 {\displaystyle x^{2}=-1} (Điều này xảy ra trên tập số thực) và có thể có vô số nghiệm như 0 x = 0 {\displaystyle 0x=0} . Nhưng số nghiệm luôn luôn bé hơn hoặc bằng (khi trên tập số thực) và bằng (khi trên tập số phức) số bậc của phương trình. Đó là định lý cơ bản của Đại số.

Xem thêm: Phương trình bậc bốn, Phương trình bậc n

Chúng ta hoàn toàn có thể biểu diễn một phương trình bất kì bằng minh họa hình học, với số giao điểm là số nghiệm của phương trình, nhưng ta không thể đếm hết số giao điểm các nghiệm và do đó phải có một số công thức hữu hạn về nghiệm của phương trình.

Biểu diễn tập nghiệm được dùng như biểu diễn hàm số, nhưng điểm khác giữa 2 khái niệm này là phương trình là một hàm hằng với y=0 khi nó là phương trình một ẩn.

2 phương trình được gọi là tương đương nhau khi chúng có cùng tập nghiệm, tức là sẽ có các phép biến đổi thuộc tính biến phương trình này thành phương trình kia.